Anillos y Grupos

I amar prestar aen (El mundo ha cambiado)

Aunque más bien habría que decir que el mundo nos va a cambiar a nosotros. Para todos aquellos que no habléis en élfico he puesto la traducción al lado (no es que yo lo entienda, pero google sí).

Grupos y Anillos, Anillos y Grupos (si son abelianos)

Vamos a empezar este blog con algunos rudimentos matemáticos sencillos para todo aquél, que como yo, quiera llegar a comprender la Física. No voy a entrar en el debate de por qué debemos de manejar las Matemáticas casi como Matemáticos. La Matemática es el lenguaje de la Física. Es como la partitura de toda obra musical: es lo que hace que los intrumentos (la Naturaleza) suenen en armonía y como Dios manda.
Bien, una vez dicho esto, vamos a conocer dos elementos muy importantes del Álgebra que nos pueden ayudar a comprender más en profundidad algunos elementos de la Física. Son los anillos y los grupos.

Grupos (Matemáticamente hablando…)

Un grupo es una estructura algebraica, la cual consta de un conjunto, llamémosle A y una operación \circ, que cumple una serie de propiedades. O más bien habría que decir, que el conjunto cumple con una serie de propiedades con respecto a la operación. Veamos cuáles son:

  • Una operación interna, que no es más que una operación que garantiza que dados dos elementos del conjunto A, la operación devuelve otro elemento de dicho conjunto.
  • Asociatividad Esta propiedad afirma que dados varios elementos del conjunto A no importa el orden de ejecución en la operación, mientras no se altere el orden de los elementos que intervienen en la operación. De manera simbólica: \forall x, y, z \in A : x\circ \left( y \circ z\right) \,=\,\left(x\circ y\right) \circ z.
  • Elemento neutro: Para todo elemento x perteneciente al conjunto A existe un único elemento e tal que se cumple lo siguiente: \forall x \in A : \exists \, !\, e : e \circ x = x \circ e = x.
  • Existe un elemento inveso o simétrico respecto de la operación \circ tal que se cumple: \forall x \in A\, \exists \, \bar{x} \in A \quad : x \circ \bar{x} = \bar{x} \circ x = e.

Si tenemos un conjunto de elementos y una operación con estas propiedades, se dice que tenemos un grupo. Además, si se cumple la propiedad conmutativa, el grupo pertenece a una familia de grupos especial, en concreto estaríamos ante un grupo abeliano o conmutativo. De manera formal, la propiedad conmutativa reza lo siguiente:

  • \forall a,b \in A : a\circ b = b \circ a.

O como se solía decir o al menos así me parece recordarlo a mí: “El orden de los factores no altera el producto”, aunque en este caso y más formalmente, debería decirse: “El orden de los factores no altera el resultado de la operación”.

Existen muchos más tipos de grupos, pero los dejaremos para mejor ocasión. Sólo quería dejar claro algunos conceptos básicos de grupos.

Para más información, remito a mirar en la página en español de Grupo en la Wikipedia.

Habrá algún lector en este blog (si es que alguna vez tiene alguno aparte de servidor) que se preguntará: “muy bien, todo esto mola cuando se tiene una operación, pero…¿qué pasa cuando tenemos un conjunto y dos operaciones binarias”.

Pues bien, la respuesta es que tenemos a otros seres que habitan en Matemáticas Land.

Anillos (Matemáticamente hablando…)

Si antes necesitábamos un grupo y una operación binaria, en este caso vamos a necesitar una operación binaria más. De modo que diremos que (A, \circ, \star) es un anillo si tiene, aparte de las mencionadas para grupos abelianos (recalco lo de abelianos ya que ha de cumplirse la propiedad conmutativa), las siguientes propiedades:

  • La operación \star es cerrada con respecto a A.
  • La operación \star es asociativa o mejor dicho, cumple con dicha propiedad.
  • Distributiva de \circ respecto de \star. Esta propiedad hace de nexo de unión entre ambas operaciones binarias de la terna anteriormente definidas: \forall a,b,c \in A, a \star (b \circ c)\,=\,(a \star b) \circ (a \star c) y además \forall a,b,c \in A, (a \circ b) \star c\,=\,(a \star c) \circ (b \star c).

Lo mismo que pasaba para los grupos, pasa para los anillos, pudiendo existir anillos conmutativos, si la operación \star es además conmutativa, es decir:

  • \forall a,b \in A : a \star b = b \star a

En este caso, los anillos conmutativos no son anillos abelianos. Para poder entender esto, tendréis que esperar a otros posts de este estilo. Pero si no podéis esperar más, siempre podréis recurrir a la entrada en español de Anillo en la Wikipedia.

Os dejo como ejercicio el demostrar que el conjunto de los polinomios de grado entero n tiene estructura de anillo. ¿Es conmutativo? La respuesta la daré en este post, pero si las sabéis no dudéis en compartir ;-).

¡Saludos!

Anuncios

16 comentarios

  1. […] conjunto de enteros gaussianos es un anillo con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo […]

  2. Hola,

    me alegro de que contribuyas con tus conocimientos e ilustres, entre otros, a la inmensa mayoría de todos aquellos que quisieron estudiar Física y/o Matemática pero se decantaron por una ingeniería a falta de echarle “un par” 😀

    ¿Podrías explicar un poquito que significa una operación cerrada con respecto a un conjunto?, ¿Cerrada e interna quieren decir lo mismo en este contexto?

    Gracias.

    Suerte con tu blog.

    • ¡Hola!
      Me alegro que haya gente que me lee, al menos da sentido a esto de “divulgar”. Aunque te puedo decir que mis conocimientos no dan para mucho.

      Por supuesto que voy a tratar de explicar qué significa una operación cerrada en el contexto que nos ocupa (y si estoy equivocado, por favor corregidme). Cerrada significa que la operación no hace que el resultado se “salga” del conjunto para la cual se ha definido.

      Con un ejemplo a lo mejor se entiende mejor: si realizas una multiplicación (operación) de enteros (conjunto) el resultado es un entero, con lo cual es una operación cerrada a dicho conjunto. La división para los enteros, en cambio no sería cerrada, ya que precisamente, esta operación provocó que este conjunto se extendiese al conjunto de los racionales.

      Espero que te haya quedado claro y que visites este tu blog también para lo que quieras. Si tienes cualquier aportación, pues ya sabes a dónde tienes que dirigirla y será más que bienvenida.

      Por cierto, yo tampoco soy Físico ni Matemático, al menos no de profesión, pero sí tengo cierta vocación y me gusta. Y para hacer ingeniería hay que echarle también un “par” :P, lo digo por experiencia propia.

      ¡Saludos!

  3. Buenas!

    Yo estoy a punto de Licenciarme en Física, y me alegro mucho de haber visto este blog! Viene bien tener un sitio donde expliquen claramente muchas cosas “básicas”, pero sin el objetivo de “para tontos”.

    En particular, este post me ha venido bien porque nunca estudié grupos ni conjuntos y quería algún tipo de definición clara y entendible.

    ¡A RSS de cabeza!

  4. Solamente una pequeña observación, no es que un anillo conmutativo no sea anillo abeliano, sino que el término abeliano es específico para los grupos, no se aplica a ninguna otra estructura algebraica.
    Enhorabuena por el blog, me parece muy interesante.
    Bienvenido a la bolgsfera.

  5. Muchas gracias por vuestros comentarios y Clara por la aclaración. La incluiré en el post en cuanto tenga un rato que ahora estoy terminando de preparar otro.

    ¡Saludos!

  6. Te has colado un poco al escribir la distributiva.

    Supongo que has copiado de la wikipedia que tiene círculos y estrellas al revés que tú y se te ha olvidado cambiarlo.

    Has puesto primero la distributiva por la izquierda de estrella sobre círculo y luego la distributiva por la derecha de círculo sobre estrella en vez de la distributiva por la derecha de estrella sobre círculo.

  7. Clara,

    lamento decirte que el término anillo abeliano sí existe.

    Tengo que reconocer que, pese a ser licenciado en matemáticas, no había oído hablar de anillos abelianos pero un vistazo por la red me ha llevado a encontrar esta definición:

    “Anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.”

    Para aclarar más, un elemento idempotente es aquel que al elevarlo al cuadrado se obtiene el elemento unidad.

    Seguiré paseando por el blog!

    • Hola,

      he visto la definición de anillo abeliano que dices en wikipedia, pero no he visto ninguna referencia donde se utilice. Me gustaría saber de dónde surge esa definifión. Si tienes alguna referencia te agradecería que me dijeras dónde lo puedo encontrar.

      La palabra abeliano equivale a conmutativo en álgebras de Lie por ejemplo, y si que se utiliza. Yo no la había usado nunca con otra estructura que no fueran los grupos (ni la había visto) quizá porque al trabajar en no asociativas no ha coincidido.

      A la cama no te irás sin saber una cosa más.
      Gracias

  8. Naka, ya he corregido el tema de la distributiva. Muchas gracias por el apunte. En cuanto pueda lo revisaré por si hay más gazapos sueltos. Ahora me va la conexión regular y apenas puedo entrar.

    Lo de los grupos abelianos yo también lo he mirado más a fondo y he visto la misma definición que Javi ha apuntado.

    Sois más que bienvenidos a seguir paseando. ¡Estáis en vuestra casa!

  9. Interesante! Si herramientas como estas los hubiera tenido en mi escolapia edad Hummm! Me refiero al blog, no soy Físico, así que…solo una pregunta desde tu punto de vista que opinas de la Teoría de campos unificados de Nassim Haramein ?
    Saludos!

  10. @unfearly no conozco la teoría de la que hablas. ¿Podrías darme un enlace para poder echarle un vistazo en cuanto pueda? No prometo dar una “crítica” porque mis conocimientos son muy limitados, pero puedo tratar de leerla y ver qué aporta.

    Gracias por el aporte.

  11. Aqui el enlace http://theresonanceproject.org/ en ingles, pero hay un par de series de videos un de 45 y otra de 25 en youtube en espa;ol donde puedes revisar http://www.youtube.com/watch?v=Myx_B3zE1BA&feature=PlayList&p=DF66C2A0054F5FDA&index=0
    Os advierto que no es sencillo, sobre todo si eres racionalista, perdón sin etiquetas es mas correcto y es que muchos salen pitando. Creo que cuando termine con el asunto matemático le va a dar la vuelta a todo y a todos.Saludos!

  12. ¡Saludos!

    Realmente me parece una iniciativa muy interesante, estaré muy al tanto de las publicaciones 😉

    Por otro lado, tengo una pregunta al respecto… ¿Es posible generalizar el concepto y extenderlo a estructuras algebraicas con más de 2 operaciones? ¿Y con más de un conjunto?

    Gracias y hasta pronto.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: