Momentos de la función distribución de partículas

Función distribución de partículas

Para los que no estáis familiarizados con la teoría de aerosoles, decir que una de las funciones más perseguidas es la función de distribución de partículas. Dicha función que denotaremos por n_{d}(d_p, \vec{r}, t) es una función que depende del diámetro de las partículas a considerar d_p, de la posición que ocupan dichas partículas \vec{r} y del tiempo t. Dicha función da una idea de cómo se distribuyen (de ahí su nombre, es obvio, ¿no? :P) las partículas en una determinada región del espacio, según su tamaño y para un momento determinado del tiempo.

Hay múltiples formas de “obtener” esta función de distibución de partículas. Una de ellas es resolviendo las ecuaciones de difusión para aglomerados de partículas. No es el objetivo de este post el ahondar en esta materia, la cual dejaremos para mejor ocasión. Sí decir que una vez obtenida, podemos obtener mucha información de esta función de distribución. Para ello, se parte de la Teoría de Momentos.

Momento de una distribución de partículas

El momento de orden n de una distribución de partículas viene dado por la siguiente ecuación:

\displaystyle{M_{0}(\bar{r}, t)\, = \, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{\nu}\cdot d(d_{p})}

Esta función da el momento de orden \nu. Hasta aquí, todo esto puede parecer puramente matemático. Además no hemos hablado de distribuciones de partículas, ni de cómo obtenerlas. Tranquilos, todo se andará. De momento dejadme que os desglose un poquito más el significado físico de esta integral.

Significado de cada uno de los momentos

O mejor dicho: significado del orden de cada momento. Vamos a ir viéndolos para tener luego una especie de “chuletario” donde ir viendo cada uno de los momentos y qué significan.

  • Momento de orden 0: Físicamente representa la concentración total de partículas para un instante dado y un punto dado: \displaystyle{M_{0}\, = \, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d(d_{p})\, =\, N_{\infty}}.
  • Momento de orden 1: Físicamente no tiene significado “per se”. Si se divide por el momento de orden 0, representa el diámetro medio de las partículas de la distribución: \displaystyle{\bar{d_{p}}\, =\, \frac{M_{1}}{M_{0}}\, =\, \frac{\int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}\cdot d\left(d_{p}\right)}{\int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d\left(d_{p}\right)}}
  • Momento de orden 2: Está relacionado con el área superficial de las partículas de la distribución por volumen de fluido en un sistema disperso. En otras palabras: superficie de partículas con relación al volumen del aerosol: \displaystyle{\pi\cdot M_{2}\, = \, \pi\cdot \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{2}\cdot d(d_{p})\, =\, A}
  • Momento de orden 3: Manipulando un poco la expresión del momento de tercer orden se obtiene una relación de volúmenes: el volumen de las partículas con relación al volumen del gas en el cual se hayan inmersas: \displaystyle{\frac{\pi}{6}\cdot M_{3}\, = \, \frac{\pi}{6}\cdot \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{3}\cdot d(d_{p})\, =\, \phi}. Puesto de otra forma: \displaystyle{\bar{v}\, =\, \frac{\phi}{N_{\infty}}\, =\, \frac{\pi\cdot M_{3}}{6\cdot M_{0}}}. Si estáis familiarizados con el concepto de porosidad, entendiéndolo como la fracción de volumen hueco dentro de un sólido; aquí vendría a representar como una antiporosidad, ya que el papel de los huecos (en realidad el aire o fluido dentro del espacio que no es sólido) lo representan las partículas; y el papel del sólido en este caso es un gas. El volumen promedio de las partículas se obtiene, como es lógico, diviendo por el momento de orden cero.
  • Momento de orden 4: Este momento está relacionado con el concepto de sedimentación de partículas. Viene a representar la tasa a la que una superficie horizontal se cubre con partículas sedimentarias procedentes del aerosol: \displaystyle{\frac{\pi\cdot \rho_{p}\cdot g}{72\cdot \mu}\cdot M_{4}\, = \, \int_{0}^{\infty} (\frac{\pi\cdot d_{p}^{2}}{4})\cdot (\frac{\rho_{p}\cdot d_{p}^{2}\cdot g}{18\cdot \mu})\cdot n_{d}(d_{p})\cdot d(d_{p})}. Si os fijáis bien, el término \displaystyle{c_{s}\, =\, \frac{\rho_{p}\cdot d_{p}^{2}\cdot g}{18\cdot \mu}} representa lo que se llama velocidad terminal de sedimentación de Stokes, con lo cual queda demostrada la relación de este momento con la tada de sedimentación, manejándolo apropiadamente.
  • Momento de orden 5: Como véis, la cosa se complica a medida que aumentamos el “orden” de los momentos. Este momento de orden 5 está relacioando con el flujo de material sedimentario desde un fluido. \displaystyle{\frac{\pi\cdot \rho_{p}^{2}\cdot g}{108\cdot \mu}\cdot M_{5}\, =\, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot c_{s}\cdot \frac{\rho_{p}\cdot \pi\cdot d_{p}^{3}}{6}\cdot d(d_{p})}
  • Momento de orden 6: Este momento, que es el último interesante para nosotros, está relacionado con la dispersión producida por las partículas de aerosol. Si d_{p} << \lambda a lo cual se llama longitud de Rayleigh, entonces se tiene lo siguiente: \displaystyle{b_{sat}\, =\, \frac{2}{3}\cdot \frac{\pi^5}{\lambda^4}\cdot (\frac{m^2-1}{m^2+2})\cdot I\cdot \int_{0}^{\infty} m_{d}\cdot d_{p}^{6}\cdot d(d_{p}) \sim M_{6}}, siendo \lambda la longitud de onda de la radiación incidente, I la intensidad de la misma y m el índice de refracción de la partícula.

Desde el punto de vista que nos preocupará para los aerosoles, no hay momentos de mayor orden con un significado físico. Realmente, los momentos que más interesan son desde el momento de orden 0 al momento de orden 3, que tienen más relación con parámetros intrínsecos y de caracterización de dichos aerosoles. Los momentos de orden 4 y 5 están más relacionados con fenómenos de sedimentación. Y el momento de orden 6 con la respuesta a un haz de luz incidente en el aerosol.

Como siempre y para que podáis ver la utilidad de esto, suponed que tenemos la siguiente ecuación n\left( x\, ,t\right)\, =\, \frac{N_{0}}{2\cdot \left( \pi\cdot D\cdot t\right)^\frac{1}{2}}\cdot exp\left[ \frac{-x^{2}}{4\cdot D\cdot t}\right] que satisface la ecuación monodimensional de difusión (esta ecuación será motivo de otro post).

Os dejo como ejercicio calcular el número de partículas (esto es trivial y creo que ni hace falta que hagáis la integral, pero como comprobación no es mal ejercicio) que componen el aerosol y su diámetro promedio y su área promedio.

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7 comentarios

  1. […] de difusión I Publicado el 2 Febrero, 2010 por hameinstein En otro post de este blog se trató los momentos de la distribución de partículas. No se habló de cómo […]

  2. Preguntas/dudas (no sé absolutamente nada de aerosoles – y aunque sé latex supongo
    que no se puede usar en los comentarios … ¿no?)

    – “volumen del aerosol” : acá se entiende que aerosol = gas + particulas ?
    igualmente, cuando dices “volumen de fluido” ¿el “fluido” viene a ser el gas, no ?
    (digo, porque me resulta un poco confusa la terminología, dado que las “partículas”
    de un aerosol bien puede ser líquidas, no?)

    – algún motivo evidente de por qué el momento de orden 0, se llama N_infinity ?

    – para el momento 1, la ecuación no está bien, la integral de la derecha habría que dividirla por M_0

    – momento 3: v con raya arriba: entiendo que es el volumen promedio de las partículas.
    aparentemente, al multiplicar eso por M_0 lo que queda (phi) es “el volumen de las partículas
    con relación al volumen del gas en el cual se hayan inmersas” . no entiendo por qué, y además
    no me dan las dimensiones (phi deberia ser adimensional en ese caso)

    – parecida duda para el momento 2

    – con los momentos superiores no me meto (notable me parece que momentos tan altos tengan significado
    físico)

    – no estoy seguro de entender el ejercicio: esa ecuación de difusión da la cantidad de partículas
    en función de (x,t), ergo vendría a ser el momento 0. De ahi podemos calcular la cantidad total
    de partículas (como es una integral gaussiana, da N_0) pero para el resto necesitamos conocer
    la función de distribución completa, para calcular M_1 y M_2, no?

    • Hernan,

      Muchísimas gracias por tus aportaciones, voy a revisar este post ya que me han dado algún consejo para que las ecuaciones se vean mejor.

      Déjame un tiempo que respondo a tus dudas en cuanto pueda.

      El \LaTeX creo que sí se puede usar en los comentarios y/o respuestas.

      ¡Saludos!

  3. No queda claro qué hay que hacer para meter ecuaciones en latex, y en todo caso es un poco incómodo usarlo para el comentarista si no hay un botón de “preview”. Digo, por si te resulta fácil agregarlo.

  4. hernan, paso a responder a tus dudas.

    Antes de nada, he corregido las ecuaciones que estaban mal. Vamos a ver tus dudas con el momento de orden 3 (y de paso el de orden 2).

    Como conceptos generales te diré que aerosol será una mezcla de gas y partículas, estén en estado sólido o líquido. Fluido es algo más general y puede ser aplicado a un aerosol, aunque el término más correcto siempre será aerosol. Me centraré primordialmente en mezclas gas + partículas sólidas (de hollín) que son el objeto de estudio de mi Tesis.

    \bar{v} es efectivamente, el volumen promedio y \phi es adimensional. Es una relación de volúmenes y por tanto, no tiene dimensiones.

    El por qué de estas relaciones es un poco intuitivo. Si tenemos una dimensión de una partícula al cuadrado, parece estar relacionada con el área ya que el área de un círculo está relacionada con el radio (o diámetro) al cuadrado. Esto pasa con los momentos de orden 2.

    Algo análogo puede aplicarse a los momentos de orden 3 que estarán relacionados, de algún modo, con los volúmenes.

    En cuanto a lo de \LaTeX, puedes escribir el código encerrándolo entre signos del dólar y tras el signo de apertura poner la palabra latex. Si lo pongo yo me sale literal por eso lo he escrito de esa manera. Soy muy nuevo en wordpress y esto de la blogfera y no sé de qué manera se hace para que salga literal. En \LaTeX sí sé cómo hacerlo, pero aquí no.

    Si tienes dudas, mira en el fantástico blog de Gaussianos que al final, cuando te da la opción de poner comentarios, explica cómo meter fórmulas.

    Que el momento de orden cero se llame N_{\infty} es precisamente porque se integra la función de distribución de partículas que da el número total de las mismas.

    Para el ejercicio, decirte que sólo hay que sustituir la función e integrar. En algunos casos será algo sencillo, pero en otros no. Ánimo que has entendido el propósito y sabes cómo hacerlo.

    ¡Saludos!

  5. Dices que \phi es adimensional, pero la integral que la define parecía a mis ojos tener dimensiones de volumen… a menos que la función de distribución de partículas mida concentración de partículas por unidad de volumen… y así M_0 también estaría en esas unidades ( cantidad de particulas / volumen )
    ¿Es así?

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