Anillos y Grupos

I amar prestar aen (El mundo ha cambiado)

Aunque más bien habría que decir que el mundo nos va a cambiar a nosotros. Para todos aquellos que no habléis en élfico he puesto la traducción al lado (no es que yo lo entienda, pero google sí).

Grupos y Anillos, Anillos y Grupos (si son abelianos)

Vamos a empezar este blog con algunos rudimentos matemáticos sencillos para todo aquél, que como yo, quiera llegar a comprender la Física. No voy a entrar en el debate de por qué debemos de manejar las Matemáticas casi como Matemáticos. La Matemática es el lenguaje de la Física. Es como la partitura de toda obra musical: es lo que hace que los intrumentos (la Naturaleza) suenen en armonía y como Dios manda.
Bien, una vez dicho esto, vamos a conocer dos elementos muy importantes del Álgebra que nos pueden ayudar a comprender más en profundidad algunos elementos de la Física. Son los anillos y los grupos.

Grupos (Matemáticamente hablando…)

Un grupo es una estructura algebraica, la cual consta de un conjunto, llamémosle A y una operación \circ, que cumple una serie de propiedades. O más bien habría que decir, que el conjunto cumple con una serie de propiedades con respecto a la operación. Veamos cuáles son:

  • Una operación interna, que no es más que una operación que garantiza que dados dos elementos del conjunto A, la operación devuelve otro elemento de dicho conjunto.
  • Asociatividad Esta propiedad afirma que dados varios elementos del conjunto A no importa el orden de ejecución en la operación, mientras no se altere el orden de los elementos que intervienen en la operación. De manera simbólica: \forall x, y, z \in A : x\circ \left( y \circ z\right) \,=\,\left(x\circ y\right) \circ z.
  • Elemento neutro: Para todo elemento x perteneciente al conjunto A existe un único elemento e tal que se cumple lo siguiente: \forall x \in A : \exists \, !\, e : e \circ x = x \circ e = x.
  • Existe un elemento inveso o simétrico respecto de la operación \circ tal que se cumple: \forall x \in A\, \exists \, \bar{x} \in A \quad : x \circ \bar{x} = \bar{x} \circ x = e.

Si tenemos un conjunto de elementos y una operación con estas propiedades, se dice que tenemos un grupo. Además, si se cumple la propiedad conmutativa, el grupo pertenece a una familia de grupos especial, en concreto estaríamos ante un grupo abeliano o conmutativo. De manera formal, la propiedad conmutativa reza lo siguiente:

  • \forall a,b \in A : a\circ b = b \circ a.

O como se solía decir o al menos así me parece recordarlo a mí: “El orden de los factores no altera el producto”, aunque en este caso y más formalmente, debería decirse: “El orden de los factores no altera el resultado de la operación”.

Existen muchos más tipos de grupos, pero los dejaremos para mejor ocasión. Sólo quería dejar claro algunos conceptos básicos de grupos.

Para más información, remito a mirar en la página en español de Grupo en la Wikipedia.

Habrá algún lector en este blog (si es que alguna vez tiene alguno aparte de servidor) que se preguntará: “muy bien, todo esto mola cuando se tiene una operación, pero…¿qué pasa cuando tenemos un conjunto y dos operaciones binarias”.

Pues bien, la respuesta es que tenemos a otros seres que habitan en Matemáticas Land.

Anillos (Matemáticamente hablando…)

Si antes necesitábamos un grupo y una operación binaria, en este caso vamos a necesitar una operación binaria más. De modo que diremos que (A, \circ, \star) es un anillo si tiene, aparte de las mencionadas para grupos abelianos (recalco lo de abelianos ya que ha de cumplirse la propiedad conmutativa), las siguientes propiedades:

  • La operación \star es cerrada con respecto a A.
  • La operación \star es asociativa o mejor dicho, cumple con dicha propiedad.
  • Distributiva de \circ respecto de \star. Esta propiedad hace de nexo de unión entre ambas operaciones binarias de la terna anteriormente definidas: \forall a,b,c \in A, a \star (b \circ c)\,=\,(a \star b) \circ (a \star c) y además \forall a,b,c \in A, (a \circ b) \star c\,=\,(a \star c) \circ (b \star c).

Lo mismo que pasaba para los grupos, pasa para los anillos, pudiendo existir anillos conmutativos, si la operación \star es además conmutativa, es decir:

  • \forall a,b \in A : a \star b = b \star a

En este caso, los anillos conmutativos no son anillos abelianos. Para poder entender esto, tendréis que esperar a otros posts de este estilo. Pero si no podéis esperar más, siempre podréis recurrir a la entrada en español de Anillo en la Wikipedia.

Os dejo como ejercicio el demostrar que el conjunto de los polinomios de grado entero n tiene estructura de anillo. ¿Es conmutativo? La respuesta la daré en este post, pero si las sabéis no dudéis en compartir ;-).

¡Saludos!

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