Ecuación de difusión I

En otro post de este blog se trató los momentos de la distribución de partículas. No se habló de cómo conseguir dicha función de distribución. Vamos a empezar una serie de posts acerca de la ecuación de difusión. Trataremos desde cómo se obtiene hasta cómo obtener soluciones particulares para dicha ecuación.

Para el caso que nos ocupa, la función de distribución de partículas resulta de resolver una ecuación en derivadas parciales, que trata de modelar la dinámica de un aerosol, tanto por procesos internos, conocidos como difusión, como por fenómentos de fuerzas externas.

Ecuación de difusión convectiva

La deducción de la ecuación se realiza a partir de un balance de materia a un volumen de control infinitesimal. Para el caso de la difusión, vamos a suponer que las partículas entran al volumen de control con una cierta velocidad \bar{u}, que determina la tasa a la que las partículas son arrastradas hacia el volumen de control.

Para el volumen de control dado, el flujo de partículas va según el eje x, por tanto, el flujo de partículas entrantes viene dado por la siguiente relación:

\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} -\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Para el flujo saliente tenemos análogamente:

\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} +\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Recordemos que la diferencia entre lo que entra y lo que sale es la tasa de acumulación de partículas según el eje x:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\cdot \frac{\partial \left(n\cdot u_{x}\right)}{\partial x}}.

Para el resto de los ejes se obtienen expresiones análogas. Sumando para los tres ejes, obtenemos la tasa neta de acumulación:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\left[\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial z}\right]\, =\, -\delta x\delta y\delta z \bar{\nabla}\cdot n\cdot \bar{u}}.

La ecuación anterior es la ecuación de difusión pura y dura, sin tener en cuenta los efectos de fuerzas externas. Teniendo en cuenta dichas fuerzas llegamos a la siguiente expresión:

\displaystyle{\frac{\partial n\delta x\delta y\delta z}{\partial t}\, =\, -\delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot n\bar{u}\, +\, \delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot \left(D\bar{\nabla}n\, -\, \bar{c}n\right)}

Podemos reorganizar un poco la ecuación anterior, ya que vista así parece un poco más farragosa de lo que en realidad es. Además, vamos a desarrollar el término \nabla\left(n\cdot \vec{v}\right)\, =\, n\cdot \nabla \vec{v}\, +\, \vec{v}\cdot \nabla n. Asumiento flujo incompresible (a veces también son estos flujos incomprensibles) esto es \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{u}\, =\, 0, que el coeficiente de difusión D es constante y dividiendo por el elemento diferencial de volumen \delta x\delta y\delta z llegamos a la ecuación de difusión:

\displaystyle{\frac{\partial n}{\partial t}\, +\, \mathbf{u}\cdot \mathbf{\nabla}n\, =\, D\mathbf{\nabla}^2n\, -\, \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{c}n}

El campo de velocidades del fluido \mathbf{v} viene determinado por el régimen mecánico del fluido. En algunos casos, dicho campo de velocidades puede ser obtenido resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes. En otro post trataremos estas ecuaciones, su deducción y veremos soluciones. Todo un mundo por descubrir…¿o no?

Por supuesto, ya sabéis que el coeficiente de difusión puede obtenerse según varias perspectivas y campos distintos de enfoque. Pero esto también merece varios posts para él solito, ya que es harina de otro costal.

¡Saludos!

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Momentos de la función distribución de partículas

Función distribución de partículas

Para los que no estáis familiarizados con la teoría de aerosoles, decir que una de las funciones más perseguidas es la función de distribución de partículas. Dicha función que denotaremos por n_{d}(d_p, \vec{r}, t) es una función que depende del diámetro de las partículas a considerar d_p, de la posición que ocupan dichas partículas \vec{r} y del tiempo t. Dicha función da una idea de cómo se distribuyen (de ahí su nombre, es obvio, ¿no? :P) las partículas en una determinada región del espacio, según su tamaño y para un momento determinado del tiempo.

Hay múltiples formas de “obtener” esta función de distibución de partículas. Una de ellas es resolviendo las ecuaciones de difusión para aglomerados de partículas. No es el objetivo de este post el ahondar en esta materia, la cual dejaremos para mejor ocasión. Sí decir que una vez obtenida, podemos obtener mucha información de esta función de distribución. Para ello, se parte de la Teoría de Momentos.

Momento de una distribución de partículas

El momento de orden n de una distribución de partículas viene dado por la siguiente ecuación:

\displaystyle{M_{0}(\bar{r}, t)\, = \, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{\nu}\cdot d(d_{p})}

Esta función da el momento de orden \nu. Hasta aquí, todo esto puede parecer puramente matemático. Además no hemos hablado de distribuciones de partículas, ni de cómo obtenerlas. Tranquilos, todo se andará. De momento dejadme que os desglose un poquito más el significado físico de esta integral.

Significado de cada uno de los momentos

O mejor dicho: significado del orden de cada momento. Vamos a ir viéndolos para tener luego una especie de “chuletario” donde ir viendo cada uno de los momentos y qué significan.

  • Momento de orden 0: Físicamente representa la concentración total de partículas para un instante dado y un punto dado: \displaystyle{M_{0}\, = \, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d(d_{p})\, =\, N_{\infty}}.
  • Momento de orden 1: Físicamente no tiene significado “per se”. Si se divide por el momento de orden 0, representa el diámetro medio de las partículas de la distribución: \displaystyle{\bar{d_{p}}\, =\, \frac{M_{1}}{M_{0}}\, =\, \frac{\int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}\cdot d\left(d_{p}\right)}{\int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d\left(d_{p}\right)}}
  • Momento de orden 2: Está relacionado con el área superficial de las partículas de la distribución por volumen de fluido en un sistema disperso. En otras palabras: superficie de partículas con relación al volumen del aerosol: \displaystyle{\pi\cdot M_{2}\, = \, \pi\cdot \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{2}\cdot d(d_{p})\, =\, A}
  • Momento de orden 3: Manipulando un poco la expresión del momento de tercer orden se obtiene una relación de volúmenes: el volumen de las partículas con relación al volumen del gas en el cual se hayan inmersas: \displaystyle{\frac{\pi}{6}\cdot M_{3}\, = \, \frac{\pi}{6}\cdot \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot d_{p}^{3}\cdot d(d_{p})\, =\, \phi}. Puesto de otra forma: \displaystyle{\bar{v}\, =\, \frac{\phi}{N_{\infty}}\, =\, \frac{\pi\cdot M_{3}}{6\cdot M_{0}}}. Si estáis familiarizados con el concepto de porosidad, entendiéndolo como la fracción de volumen hueco dentro de un sólido; aquí vendría a representar como una antiporosidad, ya que el papel de los huecos (en realidad el aire o fluido dentro del espacio que no es sólido) lo representan las partículas; y el papel del sólido en este caso es un gas. El volumen promedio de las partículas se obtiene, como es lógico, diviendo por el momento de orden cero.
  • Momento de orden 4: Este momento está relacionado con el concepto de sedimentación de partículas. Viene a representar la tasa a la que una superficie horizontal se cubre con partículas sedimentarias procedentes del aerosol: \displaystyle{\frac{\pi\cdot \rho_{p}\cdot g}{72\cdot \mu}\cdot M_{4}\, = \, \int_{0}^{\infty} (\frac{\pi\cdot d_{p}^{2}}{4})\cdot (\frac{\rho_{p}\cdot d_{p}^{2}\cdot g}{18\cdot \mu})\cdot n_{d}(d_{p})\cdot d(d_{p})}. Si os fijáis bien, el término \displaystyle{c_{s}\, =\, \frac{\rho_{p}\cdot d_{p}^{2}\cdot g}{18\cdot \mu}} representa lo que se llama velocidad terminal de sedimentación de Stokes, con lo cual queda demostrada la relación de este momento con la tada de sedimentación, manejándolo apropiadamente.
  • Momento de orden 5: Como véis, la cosa se complica a medida que aumentamos el “orden” de los momentos. Este momento de orden 5 está relacioando con el flujo de material sedimentario desde un fluido. \displaystyle{\frac{\pi\cdot \rho_{p}^{2}\cdot g}{108\cdot \mu}\cdot M_{5}\, =\, \int_{0}^{\infty} n_{d}\cdot c_{s}\cdot \frac{\rho_{p}\cdot \pi\cdot d_{p}^{3}}{6}\cdot d(d_{p})}
  • Momento de orden 6: Este momento, que es el último interesante para nosotros, está relacionado con la dispersión producida por las partículas de aerosol. Si d_{p} << \lambda a lo cual se llama longitud de Rayleigh, entonces se tiene lo siguiente: \displaystyle{b_{sat}\, =\, \frac{2}{3}\cdot \frac{\pi^5}{\lambda^4}\cdot (\frac{m^2-1}{m^2+2})\cdot I\cdot \int_{0}^{\infty} m_{d}\cdot d_{p}^{6}\cdot d(d_{p}) \sim M_{6}}, siendo \lambda la longitud de onda de la radiación incidente, I la intensidad de la misma y m el índice de refracción de la partícula.

Desde el punto de vista que nos preocupará para los aerosoles, no hay momentos de mayor orden con un significado físico. Realmente, los momentos que más interesan son desde el momento de orden 0 al momento de orden 3, que tienen más relación con parámetros intrínsecos y de caracterización de dichos aerosoles. Los momentos de orden 4 y 5 están más relacionados con fenómenos de sedimentación. Y el momento de orden 6 con la respuesta a un haz de luz incidente en el aerosol.

Como siempre y para que podáis ver la utilidad de esto, suponed que tenemos la siguiente ecuación n\left( x\, ,t\right)\, =\, \frac{N_{0}}{2\cdot \left( \pi\cdot D\cdot t\right)^\frac{1}{2}}\cdot exp\left[ \frac{-x^{2}}{4\cdot D\cdot t}\right] que satisface la ecuación monodimensional de difusión (esta ecuación será motivo de otro post).

Os dejo como ejercicio calcular el número de partículas (esto es trivial y creo que ni hace falta que hagáis la integral, pero como comprobación no es mal ejercicio) que componen el aerosol y su diámetro promedio y su área promedio.