El operador nabla (II)

En el anterior post dedicado a \nabla empezamos a perderle el miedo al operador en cuestión. En esta ocasión, vamos a centrarnos en terminar de aclarar los conceptos básicos y a dejar preparado el terreno para aplicaciones más prácticas de este operador.
En el anterior post, no puse cómo sería el operador \nabla en esféricas. Bien, pues va a ser lo primero que vamos a ver sobre este operador en esta entrada:

El Operador nabla \nabla en coordenadas Esféricas


Como primer paso, vamos a recordar qué son las coordenadas esféricas y cómo se relacionan con las coordenadas cartesianas que nos son más familiares.
En la Wikipedia, en este enlace podemos ver una figura de las coordenadas esféricas:
Representación esquemática de las coordenadas esféricas
Como podéis ver, cada punto viene determinado por tres coordenadas: el radio vector que une el origen de coordenadas con el punto en cuestión \rho, y dos ángulos, \varphi y \theta, con lo que un punto P viene determinado por dichas tres coordenadas: P(\rho,\,  \theta,\,  \varphi).

Bien, vamos a ver las relaciones entre las coordenadas esfércias y cartesianas:
\displaystyle{ \rho\, =\, \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } }
\displaystyle{ \theta\, =\, \arcsin{ \frac{ z }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } } }
\displaystyle{ \varphi\, =\, \arctan{ \frac{ y }{ x } } }
El cambio inverso viene dado por:
\displaystyle{ x\, =\, \rho\cdot \sin\theta\cdot \cos\varphi }
\displaystyle{ y\, =\, \rho\cdot \sin\theta\cdot \sin\varphi }
\displaystyle{ z\, =\, \rho\cdot \cos\theta }
Como en el caso de las coordenadas cilíndricas vamos a tomar las derivadas correspondientes:
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial x }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \partial \varphi }{ \partial x }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial x } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y}\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial y }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \partial \varphi }{ \partial y }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial y } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial z }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi }\frac{ \partial \varphi }{ \partial z }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial z } }
Para completar el cambio nos quedaría primero calcular cada una de las nueve derivadas parciales:
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial x } \, =\, \frac{ x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \sin\theta\cdot \cos\varphi }
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial y } \, =\, \frac{ y }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \sin\theta\cdot \sin\varphi }
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial z } \, =\, \frac{ z }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \cos\theta }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x }\, =\, \frac{ \frac{ -y }{ x^2 } }{ 1 + (\frac{ y }{ x })^2 }\, =\, -\frac{ y }{ x^2\, +\, y^2 }\, =\, -\frac{ \sin\varphi }{ \rho\cdot \sin\theta } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial y }\, =\, \frac{ \frac{ 1 }{ x } }{ 1 + (\frac{ y }{ x })^2 }\, =\, \frac{ x }{ x^2\, +\, y^2 }\, =\, \frac{ \cos\varphi }{ \rho\cdot \sin\theta } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial z }\, =\, 0 }
\displaystyle{\begin{matrix} \frac{ \partial \theta }{ \partial x}\, & =\, & \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1\, -\, \frac{ z^2 }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2  } } }( -\frac{ z\cdot \frac{ x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } ) \\ & =\, & -\frac{ z\cdot x \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } }{ \sqrt { x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 - z^2 } }\frac{ 1 }{ ( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 )\cdot \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \\ & =\, &  -\frac{ z\cdot x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 }( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 ) } \\ & =\, & -\frac{ \cos\theta \cos\varphi}{ \rho } \end{matrix}}
\displaystyle{ \frac{ \partial \theta }{ \partial y }\, =\, -\frac{ z\cdot y }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 }( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 ) }\, =\, -\frac{ \cos\theta\sin\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \theta }{ \partial z }\, =\, \frac{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 } }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 }\, =\, \frac{ \sin\theta }{ \rho } }
Por tanto, sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener la expresión del operador \nabla en esféricas (o casi):
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\sin\theta\cos\varphi \, -\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \sin\varphi }{ \rho\sin\theta }\, -\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \cos\theta\cos\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\sin\theta\sin\varphi\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \cos\varphi }{ \rho\sin\theta }\, -\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \cos\theta\sin\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\cos\theta\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \sin\theta }{ \rho } }
Antes he dicho que casi teníamos el cambio. ¿Qué nos queda? Pues las expresiones de los vectores unitarios cartesianos pasados a coordenadas esféricas. En este caso, el cambio es un poquito más complicado, pero si miráis bien el dibujo anterior, puede deducirse muy fácilmente. Aquí os dejo el resultado para que podáis comprobarlo:
\displaystyle{\hat{e}_{x}\, =\, \sin\theta \cos\varphi\hat{e}_{ \rho }\, +\, \sin\theta \cos\varphi\hat{e}_{ \theta }\, -\, \sin\varphi\hat{e}_{ \varphi } }
\displaystyle{\hat{e}_{y}\, =\, \sin\theta \sin\varphi\hat{e}_{ \rho }\, +\, \cos\theta \sin\varphi\hat{e}_{ \theta }\, +\, \cos\varphi\hat{e}_{ \varphi } }
\displaystyle{\hat{e}_{z}\, =\, \cos\theta\hat{e}_{ \rho }\, -\, \sin\theta\hat{e}_{ \theta }\, +\, 0\cdot \hat{e}_{ \varphi } }
Quedando, tras hacer los correspondientes productos escalares y simplificando:
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial \rho }\hat{ e }_{ \rho } \, +\, \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ \partial }{ \partial \varphi }\hat{ e }_{ \varphi }\, +\, \frac{ 1 }{ \rho \sin\varphi }\frac{ \partial }{ \partial \theta}\hat{ e }_{ \theta } }
Como podéis ver es bastante simple (para las primeras derivadas) encontrar las expresiones para el operador nabla en distintos sistemas de coordenadas. No son todos los posibles. Espero que al menos os quede claro cómo conseguir el paso a cualquier sistema de coordenadas. Es cuestión de paciencia y un poquito de cuidado, que más de una hoja se tira a la papelera por haberse equivocado en menudeces como un signo, o equivocar un \sin por un \cos
En el próximo post hablaremos de cómo conseguir el operador laplaciano tanto para cilíndricas y esféricas, pero no pondré tantísimas fórmulas.
¡Saludos!


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