El operador nabla (II)

En el anterior post dedicado a \nabla empezamos a perderle el miedo al operador en cuestión. En esta ocasión, vamos a centrarnos en terminar de aclarar los conceptos básicos y a dejar preparado el terreno para aplicaciones más prácticas de este operador.
En el anterior post, no puse cómo sería el operador \nabla en esféricas. Bien, pues va a ser lo primero que vamos a ver sobre este operador en esta entrada:

El Operador nabla \nabla en coordenadas Esféricas


Como primer paso, vamos a recordar qué son las coordenadas esféricas y cómo se relacionan con las coordenadas cartesianas que nos son más familiares.
En la Wikipedia, en este enlace podemos ver una figura de las coordenadas esféricas:
Representación esquemática de las coordenadas esféricas
Como podéis ver, cada punto viene determinado por tres coordenadas: el radio vector que une el origen de coordenadas con el punto en cuestión \rho, y dos ángulos, \varphi y \theta, con lo que un punto P viene determinado por dichas tres coordenadas: P(\rho,\,  \theta,\,  \varphi).

Bien, vamos a ver las relaciones entre las coordenadas esfércias y cartesianas:
\displaystyle{ \rho\, =\, \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } }
\displaystyle{ \theta\, =\, \arcsin{ \frac{ z }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } } }
\displaystyle{ \varphi\, =\, \arctan{ \frac{ y }{ x } } }
El cambio inverso viene dado por:
\displaystyle{ x\, =\, \rho\cdot \sin\theta\cdot \cos\varphi }
\displaystyle{ y\, =\, \rho\cdot \sin\theta\cdot \sin\varphi }
\displaystyle{ z\, =\, \rho\cdot \cos\theta }
Como en el caso de las coordenadas cilíndricas vamos a tomar las derivadas correspondientes:
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial x }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \partial \varphi }{ \partial x }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial x } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y}\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial y }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \partial \varphi }{ \partial y }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial y } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\frac{ \partial \rho }{ \partial z }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi }\frac{ \partial \varphi }{ \partial z }\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \partial \theta }{ \partial z } }
Para completar el cambio nos quedaría primero calcular cada una de las nueve derivadas parciales:
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial x } \, =\, \frac{ x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \sin\theta\cdot \cos\varphi }
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial y } \, =\, \frac{ y }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \sin\theta\cdot \sin\varphi }
\displaystyle{ \frac{ \partial \rho }{ \partial z } \, =\, \frac{ z }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \, =\, \cos\theta }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x }\, =\, \frac{ \frac{ -y }{ x^2 } }{ 1 + (\frac{ y }{ x })^2 }\, =\, -\frac{ y }{ x^2\, +\, y^2 }\, =\, -\frac{ \sin\varphi }{ \rho\cdot \sin\theta } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial y }\, =\, \frac{ \frac{ 1 }{ x } }{ 1 + (\frac{ y }{ x })^2 }\, =\, \frac{ x }{ x^2\, +\, y^2 }\, =\, \frac{ \cos\varphi }{ \rho\cdot \sin\theta } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial z }\, =\, 0 }
\displaystyle{\begin{matrix} \frac{ \partial \theta }{ \partial x}\, & =\, & \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1\, -\, \frac{ z^2 }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2  } } }( -\frac{ z\cdot \frac{ x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } ) \\ & =\, & -\frac{ z\cdot x \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } }{ \sqrt { x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 - z^2 } }\frac{ 1 }{ ( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 )\cdot \sqrt{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 } } \\ & =\, &  -\frac{ z\cdot x }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 }( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 ) } \\ & =\, & -\frac{ \cos\theta \cos\varphi}{ \rho } \end{matrix}}
\displaystyle{ \frac{ \partial \theta }{ \partial y }\, =\, -\frac{ z\cdot y }{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 }( x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 ) }\, =\, -\frac{ \cos\theta\sin\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial \theta }{ \partial z }\, =\, \frac{ \sqrt{ x^2\, +\, y^2 } }{ x^2\, +\, y^2\, +\, z^2 }\, =\, \frac{ \sin\theta }{ \rho } }
Por tanto, sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener la expresión del operador \nabla en esféricas (o casi):
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\sin\theta\cos\varphi \, -\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \sin\varphi }{ \rho\sin\theta }\, -\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \cos\theta\cos\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\sin\theta\sin\varphi\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \varphi}\frac{ \cos\varphi }{ \rho\sin\theta }\, -\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \cos\theta\sin\varphi }{ \rho } }
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z }\, =\, \frac{ \partial }{ \partial \rho }\cos\theta\, +\, \frac{ \partial }{ \partial \theta }\frac{ \sin\theta }{ \rho } }
Antes he dicho que casi teníamos el cambio. ¿Qué nos queda? Pues las expresiones de los vectores unitarios cartesianos pasados a coordenadas esféricas. En este caso, el cambio es un poquito más complicado, pero si miráis bien el dibujo anterior, puede deducirse muy fácilmente. Aquí os dejo el resultado para que podáis comprobarlo:
\displaystyle{\hat{e}_{x}\, =\, \sin\theta \cos\varphi\hat{e}_{ \rho }\, +\, \sin\theta \cos\varphi\hat{e}_{ \theta }\, -\, \sin\varphi\hat{e}_{ \varphi } }
\displaystyle{\hat{e}_{y}\, =\, \sin\theta \sin\varphi\hat{e}_{ \rho }\, +\, \cos\theta \sin\varphi\hat{e}_{ \theta }\, +\, \cos\varphi\hat{e}_{ \varphi } }
\displaystyle{\hat{e}_{z}\, =\, \cos\theta\hat{e}_{ \rho }\, -\, \sin\theta\hat{e}_{ \theta }\, +\, 0\cdot \hat{e}_{ \varphi } }
Quedando, tras hacer los correspondientes productos escalares y simplificando:
\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial \rho }\hat{ e }_{ \rho } \, +\, \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ \partial }{ \partial \varphi }\hat{ e }_{ \varphi }\, +\, \frac{ 1 }{ \rho \sin\varphi }\frac{ \partial }{ \partial \theta}\hat{ e }_{ \theta } }
Como podéis ver es bastante simple (para las primeras derivadas) encontrar las expresiones para el operador nabla en distintos sistemas de coordenadas. No son todos los posibles. Espero que al menos os quede claro cómo conseguir el paso a cualquier sistema de coordenadas. Es cuestión de paciencia y un poquito de cuidado, que más de una hoja se tira a la papelera por haberse equivocado en menudeces como un signo, o equivocar un \sin por un \cos
En el próximo post hablaremos de cómo conseguir el operador laplaciano tanto para cilíndricas y esféricas, pero no pondré tantísimas fórmulas.
¡Saludos!


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El operador nabla (I)

Sin duda, uno de los operadores más conocidos, utilizados y reputados en el mundo de la Física y de las Matemáticas es el operador nabla. Este operador se denota con el símbolo \nabla. En este post vamos a tratar de desentrañar alguno(s) de sus misterios mejor guardados.
Por si esto por sí mismo fuese poco, este símbolo fue utilizado por primera vez por uno de nuestros socios fundadores, el genial Sir Rowan Hamilton.
Cuando os hayáis terminado este post comprobaréis que no es tan fiero el león como lo pintan…¿o sí?

Definición Matemática


Según vemos en la página de la wikipedia para el operador nabla en coordenadas cartesianas se puede definir este operador de la siguiente forma:
\displaystyle{\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}}
Así es como aparece en dicha página. Los vectores \displaystyle{\hat{x},\, \hat{y},\, \hat{z}} son los vectores unitarios en cada uno de los ejes coordenados ortogonales.
En la misma página vemos que también aparece la manera en que se debe transformar dicho operador en otras sistemas de coordenadas. La vamos a reproducir aquí por completitud, pero vamos a llegar a la expresión de dicho operador de otra manera.
\displaystyle{\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1}\, + \, \frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}\, +\, \frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}}
En la expresión anterior aparecen los llamados factores de escala que no son más que la forma en que el tensor métrico de un determinado sistema de coordenadas está expresado con referencia precisamente a dicho sistema de coordenadas. Quizás y por su importancia, le dedicaremos otro post a este tema, ya que el cálculo tensorial es muy importante en física y como comprobaremos en este viaje, es omnipresente, ya que hasta los escalares son tensores…sí, de un orden determinado (concretamente de orden nulo) pero tensores al fin y al cabo.
Para centrar ideas, de forma muy breve diremos que un tensor es una entidad que se transforma de una forma determinada cuando se realizan cambios en los ejes de coordenadas. Usualmente se utiliza la notación matricial para expresarlos y los cambios de un sistema de coordendas a otro vienen dados por productos de matrices.
Que me perdonen los puristas si no soy muy puntilloso (o riguroso) con las definiciones, pero creo que debemos primero centrar ideas, que yo también soy nuevo en esto y estoy aprendiendo.
Bien, una vez dicho esto, vamos a ver cómo podemos deducir la expresión del operador \nabla en otros sistemas de coordenadas.

El operador nabla en coordenadas cilíndricas

Como partimos de las coordenadas cartesianas, vamos a recordar cómo se expresan las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas cilíndricas:
Relación coordenadas cartesianas y cilíndricas
Las ecuaciones de transformación entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas son:
\displaystyle{x\, =\, \rho\cdot \cos\left(\varphi\right)}
\displaystyle{y\, =\, \rho\cdot \sin\left(\varphi\right)}
\displaystyle{z\, =\, z}
Y las transformadas inversas:
\displaystyle{\rho\, =\, \sqrt{x^2\, +\, y^2}}
\displaystyle{\varphi\, =\, \arctan\frac{y}{x}}
\displaystyle{z\, =\, z}
Como véis, tenemos tres funciones f_{i}\left( \rho,\, \varphi,\, z\right) y sus inversas g_{i}\left( x,\, y,\, z\right) donde i=1,2,3 para representar la transformaciones. Sirviéndonos de la regla de la cadena, podemos deducir las derivadas con respecto a una variable en función de sus variables transformadas. Así, para la coordenada x tenemos:
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}\, =\, \frac{\partial}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}}
Para la coordenada y tenemos:
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}\, =\, \frac{\partial}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial y}\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y}}
Para la coordenada z es extremadamente fácil:
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}\, =\, \frac{\partial}{\partial z}}
Nos quedan por determinar, para completar el cambio, las siguientes derivadas:
\displaystyle{\frac{\partial \rho}{\partial x}\, =\, \frac{x}{\sqrt{x^2\, +\, y^2}}\, =\, \frac{\rho \cos\left( \varphi \right)}{\rho}\, =\, cos\left( \varphi \right)}
\displaystyle{\frac{\partial \rho}{\partial y}\, =\, \frac{y}{\sqrt{x^2\, +\, y^2}}\, =\, \frac{\rho \sin\left( \varphi \right)}{\rho}\, =\, \sin\left( \varphi \right)}
\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial x}\, =\, -\frac{\frac{y}{x^2}}{1\, +\, \left(\frac{y}{x}\right)^2}\, =\, -\frac{\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho^2 \cos^2\left( \varphi\right)}}{1\, +\, \left(\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho \cos^2\left( \varphi\right)}\right)}\, =\, -\frac{\frac{\sin \left( \varphi\right)}{\rho \cos^2\left( \varphi\right)}}{\frac{1}{\cos^2\left( \varphi\right)}}\, =\, -\frac{\sin\left( \varphi\right)}{\rho}}
\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial y}\, =\, \frac{\frac{1}{x}}{1\, +\, \left(\frac{y}{x}\right)^2}\, =\, \frac{\frac{1}{\rho \cos\left( \varphi\right)}}{1\, +\, \left(\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho \cos^2 \left( \varphi\right)}\right)}\, =\, \frac{\frac{1}{\rho \cos^2 \left( \varphi\right)}}{\frac{1}{\rho^2 \cos^2 \left( \varphi \right)}} \, =\, \frac{\cos\left( \varphi\right)}{\rho}}
Por tanto, el operador \nabla queda de la siguiente manera:
\displaystyle{\Bigg ( \frac{\partial}{\partial \rho}\cos\left( \varphi\right)\, -\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\sin\left( \varphi\right)}{\rho}, \, \frac{\partial}{\partial \rho}\sin\left( \varphi\right)\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{cos\left( \varphi\right)}{\rho}\, ,\, \frac{\partial}{\partial z} \Bigg)}
Nos queda un pequeño paso para tener el operador \nabla en cilíndricas, más concretamente, el grandiente. Bien, pues si os habéis fijado, dicho gradiente en cartesianas es el producto escalar del operador \nabla con los vectores unitarios según los ejes coordenados. Efectivamente, lo habéis adivinado, falta por expresar los vectores unitarios cartesianos en coordenadas cilíndricas. Los cambios de los vectores son (lo podéis comprobar):
\displaystyle{\hat{e}_{x}\, =\, \cos\left( \varphi\right) \hat{e}_{\rho}\, -\sin(\varphi) \hat{e}_{\varphi}}
\displaystyle{\hat{e}_{y}\, =\, \sin\left( \varphi\right) \hat{e}_{\rho}\, +\cos(\varphi) \hat{e}_{\varphi}}
\displaystyle{\hat{e}_{z}\, =\, \hat{e}_{z}}
Para obtener el gradiente, simplemente realizamos el producto escalar entre el operador \nabla y el vector formado por las componentes anteriores, quedando:
\displaystyle{\nabla \, =\, \frac{\partial}{\partial \rho} \hat{e}_{\rho}\, +\, \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} \hat{e_{\varphi}}\, +\, \frac{\partial}{\partial z} \hat{e}_{z}}
Y de momento, esto es todo para ir calentando con este operador que nos va a dar mucho que hablar. Si queréis, podéis intentar hacer lo mismo para coordenadas esféricas. Es un pelín más elaborado, pero no mucho más difícil.
¡Ánimo y a por él!