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Ecuación de difusión I

Posted on 2 febrero, 2010 by hameinstein

En otro post de este blog se trató los momentos de la distribución de partículas. No se habló de cómo conseguir dicha función de distribución. Vamos a empezar una serie de posts acerca de la ecuación de difusión. Trataremos desde cómo se obtiene hasta cómo obtener soluciones particulares para dicha ecuación.

Para el caso que nos ocupa, la función de distribución de partículas resulta de resolver una ecuación en derivadas parciales, que trata de modelar la dinámica de un aerosol, tanto por procesos internos, conocidos como difusión, como por fenómentos de fuerzas externas.

Ecuación de difusión convectiva

La deducción de la ecuación se realiza a partir de un balance de materia a un volumen de control infinitesimal. Para el caso de la difusión, vamos a suponer que las partículas entran al volumen de control con una cierta velocidad \bar{u}, que determina la tasa a la que las partículas son arrastradas hacia el volumen de control.

Para el volumen de control dado, el flujo de partículas va según el eje x, por tanto, el flujo de partículas entrantes viene dado por la siguiente relación:

\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} -\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Para el flujo saliente tenemos análogamente:

\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} +\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Recordemos que la diferencia entre lo que entra y lo que sale es la tasa de acumulación de partículas según el eje x:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\cdot \frac{\partial \left(n\cdot u_{x}\right)}{\partial x}}.

Para el resto de los ejes se obtienen expresiones análogas. Sumando para los tres ejes, obtenemos la tasa neta de acumulación:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\left[\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial z}\right]\, =\, -\delta x\delta y\delta z \bar{\nabla}\cdot n\cdot \bar{u}}.

La ecuación anterior es la ecuación de difusión pura y dura, sin tener en cuenta los efectos de fuerzas externas. Teniendo en cuenta dichas fuerzas llegamos a la siguiente expresión:

\displaystyle{\frac{\partial n\delta x\delta y\delta z}{\partial t}\, =\, -\delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot n\bar{u}\, +\, \delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot \left(D\bar{\nabla}n\, -\, \bar{c}n\right)}

Podemos reorganizar un poco la ecuación anterior, ya que vista así parece un poco más farragosa de lo que en realidad es. Además, vamos a desarrollar el término \nabla\left(n\cdot \vec{v}\right)\, =\, n\cdot \nabla \vec{v}\, +\, \vec{v}\cdot \nabla n. Asumiento flujo incompresible (a veces también son estos flujos incomprensibles) esto es \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{u}\, =\, 0, que el coeficiente de difusión D es constante y dividiendo por el elemento diferencial de volumen \delta x\delta y\delta z llegamos a la ecuación de difusión:

\displaystyle{\frac{\partial n}{\partial t}\, +\, \mathbf{u}\cdot \mathbf{\nabla}n\, =\, D\mathbf{\nabla}^2n\, -\, \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{c}n}

El campo de velocidades del fluido \mathbf{v} viene determinado por el régimen mecánico del fluido. En algunos casos, dicho campo de velocidades puede ser obtenido resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes. En otro post trataremos estas ecuaciones, su deducción y veremos soluciones. Todo un mundo por descubrir…¿o no?

Por supuesto, ya sabéis que el coeficiente de difusión puede obtenerse según varias perspectivas y campos distintos de enfoque. Pero esto también merece varios posts para él solito, ya que es harina de otro costal.

¡Saludos!

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